先学习一下LaTeX公式
行内公式($)
$x^3 - 3x + 1 = 0$
块公式（有两个$$）
\[x^3 - 3x + 1 = 0\]
\[\begin{aligned}
x_1 &= 2\cos\frac{2\pi}{9} \\
x_2 &= 2\cos\frac{4\pi}{9} \\
x_3 &= 2\cos\frac{8\pi}{9}
\end{aligned}\]
\[\frac{a}{b}
\sqrt{x^2 + y^2}
\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx
\sum_{i=1}^n i^2\]
常用命令
| 目的 |
语法 |
示例效果 |
| 上标 |
x^2 |
$x^2$ |
| 下标 |
x_1 |
$x_1$ |
| 空格 |
\,\space,\,,\;,\quad,\qquad,\! |
$21k\space\mod5$ |
| 分数 |
\frac{a}{b} |
$\frac{a}{b}$ |
| 除以 |
\div |
$5 \div 2 = 2.5$ |
| 乘以 |
\times,\cdot |
$(A \times B) \cdot C = 2 \cdot (4 \times 5)$ |
| 恒等 |
\equiv |
$21k \equiv 3$ |
| 开方 |
\sqrt{x} |
$\sqrt{x}$ |
| 求和 |
\sum_{i=1}^n i^2 |
$\sum_{i=1}^n i^2$ |
| 积分 |
\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx |
$\int_0^\infty e^{-x^2},dx$ |
| 矩阵 |
\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} |
$\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ |
| 对齐 |
\begin{aligned} a &= b + c \\ d &= e + f \end{aligned} |
$\begin{aligned} a &= b + c \ d &= e + f \end{aligned}$ |
奥数题
2025-10-29
题目
一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数的最小值。
这道题涉及余数问题，是数论中的经典类型，适合5-7年级的水平。
解析思路
-
理解条件
- 除以3余2：表示这个数可以表示为$3a+2$的形式。
- 除以5余3：表示这个数可以表示为$5b+3$的形式。
- 除以7余2：表示这个数可以表示为$7c+2$的形式。
-
寻找公共部分
- 这个书除以3和除以7都余2，应该同时是3和7的倍数。因为3和7互质（最大公约数为1），所以他们的最小公倍数是21。因此，这个数可以表示为$21k + 2$的形式（其中$k$是任意整数）。
-
结合上面两个条件
- 用数学式表达 $(21k + 2)\div5 余3$的形式
- 等价于$21k+2-3$是5的倍数，即$21k - 1$是5的倍数。或者说$21k \equiv 1 (mod 5)$。
-
简化模5运算
- 计算$21k \quad mod \quad 5$。
- 因为21除以5余1（$21k\equiv1(\ mod \space 5)$）
- 所以$21k\equiv 1 \times k =k \space (mod \space 5)$
- $k\equiv 1 (mod 5)$
- $k = 5m+1$
- 带入求数
- $21(5m+1)+2=105m+21+2=105m+23$
- 所以这个数是$105m+23$,当$m=0$时，得到最小值23
-
验证
- $23 \div 3 = 7 ……2$
- $23 \div 5 = 4 ……3$
- $23 \div 7 = 3 ……2$
-
知识点
- 余数的性质： 理解如何用代数表达式表示余数条件（例如，除以d余r，可以写成$d \times k + r$）
- 模运算： 学习简单的模运算，例如$a \equiv b \ (mod \ m)$ 表示a和b除以m都有相同的余数
- 最小公倍数（LCM）： 两个数互质时，最小公倍数是他们的乘积，这里，3和7互质，LCM=21。
- 问题解决策略： 寻找公共条件简化问题，再逐步结合其他条件求解。